Question

20．设F₁、F₂是椭圆$\frac{x^2}{16}$+$\frac{y^2}{4}$=1的两焦点，P为椭圆上的点，若PF₁⊥PF₂，则△PF₁F₂的面积为（　　）

• A． 8
• B． $4\sqrt{2}$
• C． 4
• D． $2\sqrt{2}$

Answer 1

分析 根据椭圆的定义和勾股定理建立关于m、n的方程组，求得|PF₁|•|PF₂|=8，结合直角三角形的面积公式，可得△PF₁F₂的面积S=$\frac{1}{2}$|PF₁|•|PF₂|，求得△PF₁F₂的面积．

解答 解：由椭圆$\frac{x^2}{16}$+$\frac{y^2}{4}$=1，可知a=4，b=2，可得c²=a²-b²=12，即c=2$\sqrt{3}$，
设|PF₁|=m，|PF₂|=n，
由椭圆的定义可知：m+n=2a=8，
∵PF₁⊥PF₂，得∠F₁PF₂=90°，
由勾股定理可知：m²+n²=（2c）²，
∴（m+m）²-2mn=4c²，
则64-2mn=48
解得：mn=8，
∴|PF₁|•|PF₂|=8．
∴△PF₁F₂的面积S=$\frac{1}{2}$|PF₁|•|PF₂|=$\frac{1}{2}$×8=4．
故选C．

点评 本题给出椭圆的焦点三角形的面积，考查勾股定理、椭圆的定义和简单几何性质等知识的应用，属于基础题．