Question

在△ABC中，A（cosθ，sinθ）(0＜θ＜

π

2

)，B（1，0），C（0，1），
（1）用θ表示△ABC的面积S（θ）；
（2）求△ABC面积的最大值；
（3）函数y=S（θ）的图象可由函数y=sinθ的图象经过怎样变换得到．

Answer 1

分析：（1）求出点A（cosθ，sinθ） 到直线BC  x+y-1=0的距离d，又 AB=

2

，由S（θ）=

1

2

•AB•d 化简可得S（θ）=sin（θ+

π

4

）-

1

2

．
（2）由以上可得 

π

4

＜θ+

π

4

＜

3π

4

，故当θ+

π

4

=

π

2

 时，smax=

2

2

-

1

2

．
（3）把y=sinθ的图象向左平移

π

4

个单位，再把纵坐标缩短为原来的

2

2

，再把图象向下平移

1

2

个单位 可得y=S（θ）的图象．

解答：解：（1）BC边所在的直线方程为 x+y-1=0，点A（cosθ，sinθ） 到直线方程 x+y-1=0的距离d
等于  

|cosθ +sinθ-1|

2

，AB=

2

，∴△ABC的面积S（θ）=

1

2

•AB•d=

|cosθ +sinθ-1|

2

=
sin（θ+

π

4

）-

1

2

，(0＜θ＜

π

2

)．
（2）由以上可得 

π

4

＜θ+

π

4

＜

3π

4

，故当θ+

π

4

=

π

2

 时，smax=

2

2

-

1

2

，
即△ABC面积的最大值为 

2

2

-

1

2

．
（3）把y=sinθ的图象向左平移

π

4

个单位，可得y=sin（θ+

π

4

）的图象，再把纵坐标缩短为原来的

2

2

，横坐标不变，
可得y=

2

2

sin（θ+

π

4

）的图象，再把y=

2

2

sin（θ+

π

4

）的图象向下平移

1

2

个单位，即可得到函数y=S（θ）的图象．

点评：本题考查点到直线的距离公式，求三角函数的最值，函数y=Asin（ωx+∅）的图象的变换，求出△ABC的面积S（θ）的解析式，是解题的关键．