Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）经过点（0，

3

），离心率为

1

2

，左、右焦点分别为F₁（-c，0）与F₂（c，0）．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设椭圆C与x轴负半轴交点为A，过点M（-4，0）作斜率为k（k≠0）的直线l，交椭圆C于B、D两点（B在M、D之间），N为BD中点，并设直线ON的斜率为k₁．
（i）证明：k•k₁为值；
（ii）是否存在实数k，使得F₁N⊥AD？如果存在，求直线l的方程；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（I）由椭圆经过点（0，

3

），离心率为

1

2

，可得

b= 3 c a = 1 2 a2=b2+c2

，解得即可．
（II）（i）设B（x₁，y₁），D（x₂，y₂），线段BD的中点N（x₀，y₀）．由题意可得直线l的方程为：y=k（x+4），与椭圆方程联立化为（3+4k²）x²+k²x+64k²-12=0，由△＞0，可得k2＜

1

4

，且k≠0．利用根与系数的关系、中点坐标公式可得k1=

y0

x0

=-

3

4k

，即可证明．
（ii）假设存在实数k，使得F₁N⊥AD，则kF1N•kAD=-1，利用斜率计算公式可得x₂=-8k²-2＜-2，与x₂≥-2矛盾．

解答： 解：（I）∵椭圆经过点（0，

3

），离心率为

1

2

，
∴

b= 3 c a = 1 2 a2=b2+c2

，解得a=2，c=1，b=

3

．
∴椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（II）（i）证明：设B（x₁，y₁），D（x₂，y₂），线段BD的中点N（x₀，y₀）．
由题意可得直线l的方程为：y=k（x+4），
联立

y=k(x+4) x2 4 + y2 3 =1

，化为（3+4k²）x²+k²x+64k²-12=0，
由△＞0，可得k2＜

1

4

，且k≠0．
∴x₁+x₂=

-64k2

3+4k2

，x1x2=

64k2-12

3+4k2

．
∴x0=

x1+x2

2

=

-16k2

3+4k2

，y₀=k（x₀+4）=

12k

4k2+3

，
∴k1=

y0

x0

=-

3

4k

，即k₁•k=-

3

4

为定值．
（ii）假设存在实数k，使得F₁N⊥AD，则kF1N•kAD=-1，
∵kF1N=

y0

x0+1

=

12k 3+4k2

-16k2 3+4k2 +1

=

4k

1-4k2

，k_AD=

y2

x2+2

=

k(x2+4)

x2+2

，
∴

4k

1-4k2

×

k(x2+4)

x2+2

=-1，化为x₂=-8k²-2＜-2，与x₂≥-2矛盾，
∴直线l不存在．

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、中点坐标公式、斜率计算公式、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．