Question

离心率e=

5 -1

2

的椭圆称为优美椭圆，F、A分别是它的右焦点与左顶点，B是短轴的一个顶点，则∠ABF=

 

．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：通过椭圆的离心率公式，推出2c²=（3-

5

）a²，运用勾股定理及逆定理，验证|FA|²=|FB|²+|AB|²成立，所以∠ABF等于90°．

解答： 解：∵e=

c

a

=

5 -1

2

，∴2c²=（3-

5

）a²，
在三角形FAB中，由于b²+c²=a²
|FA|=a+c，|FB|=a，|AB|=

a2+b2

，
∴|FA|²=（a+c）²=a²+c²+2ac，|FB|²+|AB|²=2a²+b²=3a²-c²
∴|FA|²═

3+ 5

2

a2，|FB|²+|AB|²=

3+ 5

2

a2，
∴|FA|²=|FB|²+|AB|²
所以∠ABF等于90°．
故答案为：90°．

点评：解决此类问题关键是熟练掌握椭圆的几何性质，以及利用边长关系判断三角形的形状的问题．