Question

平面内动点P（x，y）到定点F（1，0）的距离比它到y轴的距离大l．
（1）求动点P的轨迹ABCD的方程；
（2）已知点A（3，2），求|PA|+|PF|的最小值及此时P点的坐标．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由题意，动点P（x，y）到定点F（1，0）的距等于它到x=-1的距离，当动点不在直线上时，由抛物线的定义知P的轨迹为抛物线，动点在直线上时，其轨迹为y=0（x≤0），求出即可，．
（2）设点P在准线上的射影为D，记抛物线y²=2x的焦点为F（1，0），准线l是x=-1，由抛物线的定义可得|PF|=|PD|，当D，P，M三点共线时PA+PD最小，即可得出．

解答： 解：（1）由题意，动点P（x，y）到定点F（1，0）的距等于它到x=-1的距离，
当动点不在直线上时，由抛物线的定义知P的轨迹为抛物线，设抛物线方程为：y²=2px（p＞0）．
则p=2，
∴所求的轨迹方程为y²=4x．
当动点在直线上时，其轨迹为y=0（x≤0）．
（2）设点P在准线上的射影为D，记抛物线y²=2x的焦点为F（1，0），准线l是x=-1，
由抛物线的定义可得：|PF|=|PD|，
因此PA+PF=PA+PD≥AD=4，即当D，P，M三点共线时PA+PD最小，
此时P（1，2）．

点评：本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．