Question

（1）a、b为非负数，a+b=1，x₁，x₂∈R⁺，求证：（ax₁+bx₂）（bx₁+ax₂）≥x₁x₂；
（2）已知实数a，b，c，d满足a+b+c+d=3，a²+2b²+3c²+6d²=5试求a的最值．

Answer 1

分析：（1）将y₁、y₂代入乘积y₁y₂展开，化简出x₁x₂的表达式，判断其大小，即可．
（2）由柯西不等式得，有(2b2+3c2+6d2)(

1

2

+

1

3

+

1

6

)≥(b+c+d)2；结合条件可得，5-a²≥（3-a）²；从而求得a的最值．

解答：解：（1）∵

(ax1+bx2)(bx1+ax2)

=(ax1+bx2)(ax2+bx1)≥(a x1x2 +b x1x2 )2=(a+b)2x1x2=x1x2

（∵a+b=1）．
（2）解：由柯西不等式得，有(2b2+3c2+6d2)(

1

2

+

1

3

+

1

6

)≥(b+c+d)2；
即2b²+3c²+6d²≥（b+c+d）²
由条件可得，5-a²≥（3-a）²；
解得，1≤a≤2当且仅当

2 b

1 2

=

3 c

1 3

=

6 d

1 6

时等号成立，
代入b=1，c=

1

3

，d=

1

6

时，
a_max=2b=1，c=

2

3

，d=

1

3

时a_min=1．

点评：本小题主要考查柯西不等式、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力与转化思想．属于基础题．