Question

18．已知曲线C₁的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}x=cosφ\\ y=2sinφ\end{array}\right.$（φ为参数），以直角坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程是$ρsinθ-2ρcosθ=4\sqrt{2}$．
（Ⅰ）求曲线C₂的直角坐标方程；
（Ⅱ）设P为曲线C₁上任意一点，Q为曲线C₂上任意一点，求|PQ|的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）直接根据极坐标和直角坐标互化公式求解即可；
（Ⅱ）将C₁的参数方程代入到点到直线的距离公式，利用三角函数的性质求出距离的最小值．

解答 （本题满分为10分）
解：（Ⅰ）将$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$，代入ρsin$θ-2ρcosθ=4\sqrt{2}$，
得：曲线C₂的直角坐标方程为：y-2x-4$\sqrt{2}$=0．…（4分）
（Ⅱ）由题意可知|PQ|的最小值即为P到直线y-2x=4$\sqrt{2}$的距离的最小值，
∵d=$\frac{|2cosφ-2sinφ+4\sqrt{2}|}{\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{2}cos（φ+\frac{π}{4}）+4\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$，
所以|PQ|的最小值为d_min=$\frac{2\sqrt{10}}{5}$．…（10分）

点评 本题考查了参数方程，极坐标方程与普通方程的转化，参数方程的应用，属于中档题．