Question

【题目】已知函数（且）.

（1）判断的奇偶性并证明；

（2）若，判断在的单调性并用复合函数单调性结论加以说明；

（3）若，是否存在，使在的值域为？若存在，求出此时的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）是奇函数，证明见解析；（2）在上单调递减，见解析（3）存在，．

【解析】

（1）根据奇函数的定义可判断该函数为奇函数.

（2）令，可判断此函数为增函数，而外函数为减函数，由复合函数的单调性的判断方法可知原来的函数为上的减函数.

（3）根据函数的单调性可把的存在性问题转化为方程有两正根，利用根分布可求实数的取值范围.

（1）是奇函数，证明如下：

由解得或，

所以的定义域为，关于原点对称．

∵，

故为上的奇函数.

（2）令，则在上为单调递增函数.

因为，故为减函数，

故复合函数为上为单调递减函数.

（3）由（2）知，当时，在上单调递减，则.

假设存在，使在的值域为．

则有，∴．

所以，是方程的两正根，

整理得在有2个不等根和．

令，则在有2个零点，

，解得，故的取值范围为．