Question

（2013•福建）设S，T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数y=f（x）满足：（i）T={f（x）|x∈S}；（ii）对任意x₁，x₂∈S，当x₁＜x₂时，恒有f（x₁）＜f（x₂），那么称这两个集合“保序同构”，以下集合对不是“保序同构”的是（　　）

A．A=N^*，B=N

B．A={x|-1≤x≤3}，B={x|x=-8或0＜x≤10}

C．A={x|0＜x＜1}，B=R

D．A=Z，B=Q

Answer 1

分析：利用题目给出的“保序同构”的概念，对每一个选项中给出的两个集合，利用所学知识，找出能够使两个集合满足题目所给出的条件的函数，即B是函数的值域，且函数为定义域上的增函数．排除掉是“保序同构”的，即可得到要选择的答案．

解答：解：对于A=N^*，B=N，存在函数f（x）=x-1，x∈N^*，满足：（i）B={f（x）|x∈A}；（ii）对任意x₁，x₂∈A，当x₁＜x₂时，恒有f（x₁）＜f（x₂），所以选项A是“保序同构”；
对于A={x|-1≤x≤3}，B={x|x=-8或0＜x≤10}，存在函数f(x)=

-8，x=-1 5 2 x+ 5 2 ，-1＜x≤3

，满足：
（i）B={f（x）|x∈A}；（ii）对任意x₁，x₂∈A，当x₁＜x₂时，恒有f（x₁）＜f（x₂），所以选项B是“保序同构”；
对于A={x|0＜x＜1}，B=R，存在函数f(x)=log

1

2

1-x

1+x

，0＜x＜1，满足：（i）B={f（x）|x∈A}；（ii）对任意
x₁，x₂∈A，当x₁＜x₂时，恒有f（x₁）＜f（x₂），所以选项A是“保序同构”；
前三个选项中的集合对是“保序同构”，由排除法可知，不是“保序同构”的只有D．
故选D．

点评：本题是新定义题，考查了函数的定义域和值域，考查了函数的单调性，综合考查了不同类型函数的基本性质，是基础题．