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设圆(x-2)2+(y-2)2=4的切线l与两坐标轴交于点A(a,0),B(0,b),ab≠0.
(1)证明:(a-4)(b-4)=8;
(2)若a>4,b>4,求△AOB的面积的最小值.
(1)证明:直线l的方程为
x
a
+
y
b
=1,即bx+ay-ab=0,
则圆心(2,2)到切线l的距离d=r,即
|2b+2a-ab|
b2+a2
=2,
整理得:ab-4(a+b)+8=0,
则(a-4)(b-4)=8;
(2)由(a-4)(b-4)=8,得到ab=4(a+b)-8,
又a>4,b>4,
∴S△AOB=
1
2
ab=2[(a-4)+(b-4)+6]≥2(2
(a-4)(b-4)
+6)=4(3+2
2
),(当且仅当a=b=4+2
2
时取等号),
则△AOB面积的最小值是12+8
2
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

过点Q(-2,
21
)
作圆O:x2+y2=r2(r>0)的切线,切点为D,且QD=4.
(1)求r的值;
(2)设P是圆O上位于第一象限内的任意一点,过点P作圆C的切线l,且l交x轴于点A,交y轴于点B,设
OK
=
OA
+
OB
,求|
OK
|
的最小值(O为坐标原点).
(3)从圆O外一点M(x1,y1)向该圆引一条切线,切点为T,N(2,3),且有|MT|=|MN|,求|MT|的最小值,并求此时点M的坐标.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

已知圆C1:x2+y2=4与直线l:3x+4y-5=0交于A,B两点,若圆C2的圆心在线段AB上,且圆C2与圆C1相切,切点在圆C1的劣弧
AB
上,则圆C2的最大面积为______.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

过点P(0,-1)作圆C:x2+y2-2x-4y+4=0的切线
(1)求点P到切点A的距离|PA|;
(2)求切线的方程.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

在平面直角坐标系xOy中,已知圆C的方程为x2+y2-8x+15=0,直线l的方程为y=kx-2.
(1)若直线l被圆C所截得弦长为2,求直线l的方程;
(2)若直线l上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,求k的最大值.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

从点P(4,5)向圆(x-2)2+y2=4引切线,则圆的切线方程为______.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

设P(x,y)是曲线C:
x=-2+cosθ
y=sinθ
为参数,0≤θ<2π)上任意一点,则
y
x
的取值范围是(  )
A.[-
3
3
]
B.(-∞,-
3
]∪[
3
,+∞)
C.[-
3
3
3
3
]
D.(-∞,-
3
3
]∪[
3
3
,+∞)

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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

直线l:y-1=k(x-1)和圆x2+y2-2y=0交点个数是(  )
A.0B.1
C.2D.个数与k的取值有关

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科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

在平面直角坐标系xOy中,圆C的方程为x2+y2-8x+14=0,若直线y=kx-2上至少存在一点,使得以该点为圆心,
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为半径的圆与圆C有公共点,则k的最大值是______.

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