Question

设数列，数列{b_n}满足：b_n=a_n+1-a_n．
（I）求a₀，a₂；
（II）当n∈N^*时，求证：数列{b_n}为等差数列；
（III）设，求证：．

Answer 1

（I）解：∵
∴令m=n，可得a₀=0；令n=0，可得a_2m=4a_m-2m
令m=1，可得a₂=4a₁-2=6；
（II）证明：令m=n+2，则
∵a_2m=4a_m-2m
∴a_2n+1=4a_n+1-2（n+1），a_2n+4=4a_n+2-2（n+2），a_2n=4a_n-2n
∴a_n+2=2a_n+1-a_n+2
∴（a_n+2-a_n+1）-（a_n+1-a_n）=2
∵b_n=a_n+1-a_n，
∴b_n+1-b_n=2
∴数列{b_n}为首项为a₂-a₁=4，公差为2的等差数列；
（III）证明：由（II）知b_n=2n+2
∴=2^n-1
∴
∴＜=
∴
又∵≥
∴-（1-）＞
∴
分析：（I）根据数列递推式，利用赋值法，可得结论；
（II）根据数列递推式，令m=n+2，进而可得a_n+2=2a_n+1-a_n+2，由此可证数列{b_n}为等差数列；
（III）确定数列的通项，求出数列的和，再进行放缩，即可证得结论．
点评：本题考查数列递推式，考查等差数列的证明，考查数列的通项与求和，考查不等式的证明，正确确定数列的通项，利用放缩法是解题的关键．