Question

设{a_n}是等差数列，{b_n}是各项都为正数的等比数列，且a₁=b₁=1，a₃+b₅=21，a₅+b₃=13．
（Ⅰ）求{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）记数列的前n项和为S_n，证明：S_n＜6．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）设{a_n}的公差为d，{b_n}的公比为q，然后根据条件建立方程组，解之即可求出d与q，从而求出{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）根据数列的通项公式的形式可知利用错位相消法进行求和即可求出S_n=6-，可证得结论．
解答：解：（Ⅰ）设{a_n}的公差为d，{b_n}的公比为q，--------（1分）
则依题意有q＞0且解得d=2，q=2．-------（4分）
所以a_n=1+（n-1）d=2n-1，b_n=q^n-1=2^n-1．-----------（6分）
（Ⅱ）．
，①
，②
由②-①得：
=
=
=．-----------（10分）
∵，
∴S_n＜6．-----------（12分）
点评：本题主要考查了等差数列与等比数列的通项公式，以及利用错位相消法求数列的和，同时考查了不等式的证明，属于中档题．