Question

考查下列四个命题：
①已知直线l，二次函数的图象（抛物线）C，则“直线l与抛物线C有且只有一个公共点”是“直线l与抛物线C相切”的必要不充分条件
②“a+b=0”是“直线y=x+2与圆（x-a）²+（y+b）²=2相切”的充分不必要条件
③“a²+b²=0”是“函数f（x）=x|x+a|+b是奇函数”的充分不必要条件
④“f（x）的最小正周期为6”是“函数f（x）对于任意实数X，有f（x+3）=-

1

f(x)

”的充分必要条件
其中所有正确的命题是（　　）

• A、①②
• B、①③
• C、③④
• D、①②④

Answer 1

分析：“直线l与抛物线C有且只有一个公共点”?“直线l与抛物线C相切或相交”，“直线l与抛物线C相切”?“直线l与抛物线C有且只有一个公共点”．①成立；“a+b=0”?“直线y=x+2与圆（x-a）²+（y+b）²=2相切”，“直线y=x+2与圆（x-a）²+（y+b）²=2相切”?“a+b=0，或a+b=-4”．②成立；“a²+b²=0”?“函数f（x）=x|x+a|+b是奇函数”，③不成立；“f（x）的最小正周期为6”?“函数f（x）对于任意实数X，有f（x+3）=-

1

f(x)

”，④不成立．

解答：解：若“直线l与抛物线C有且只有一个公共点”，
则“直线l与抛物线C相切或相交”；
若“直线l与抛物线C相切”，
则“直线l与抛物线C有且只有一个公共点”．
故①成立；
若“a+b=0”，则“直线y=x+2与圆（x-a）²+（y+b）²=2相切”；
若“直线y=x+2与圆（x-a）²+（y+b）²=2相切”，
则“a+b=0，或a+b=-4”．
故②成立；
若“a²+b²=0”，则“函数f（x）=x|x+a|+b是奇函数”，
若“函数f（x）=x|x+a|+b是奇函数”，则“a²+b²=0”．
故③不成立；
若“f（x）的最小正周期为6”，则“函数f（x）对于任意实数X，有f（x+3）=-

1

f(x)

”，
若“函数f（x）对于任意实数X，有f（x+3）=-

1

f(x)

”，则“f（x）的最小正周期为6”．
故④不成立．
故选A．

点评：本题考查充分条件、必要条件、充要条件的性质和应用，解题时要认真审题，注意直线和曲线相切、函数的周斯等性质的合理运用．