Question

（2012•朝阳区一模）已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的两个焦点分别为F1(-

2

，0)，F2(

2

，0)．点M（1，0）与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）已知点N的坐标为（3，2），点P的坐标为（m，n）（m≠3）．过点M任作直线l与椭圆C相交于A，B两点，设直线AN，NP，BN的斜率分别为k₁，k₂，k₃，若k₁+k₃=2k₂，试求m，n满足的关系式．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依题意，c=

2

，b=1，求出a的值，即可得到椭圆C的方程；
（Ⅱ）①当直线l的斜率不存在时，将直线x=1与椭圆方程联立，求得A，B的坐标，利用k₁+k₃=2k₂，可得m，n满足的关系式；②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程代入

x2

3

+y2=1整理化简，利用韦达定理及k₁+k₃=2k₂，可得k₂的值从而可得m，n满足的关系式．

解答：解：（Ⅰ）依题意，c=

2

，b=1，所以a=

b2+c2

=

3

．
故椭圆C的方程为

x2

3

+y2=1．…（4分）
（Ⅱ）①当直线l的斜率不存在时，由

x=1 x2 3 +y2=1

解得x=1，y=±

6

3

．
不妨设A(1，

6

3

)，B(1，-

6

3

)，
因为k1+k3=

2- 6 3

2

+

2+ 6 3

2

=2，又k₁+k₃=2k₂，所以k₂=1，
所以m，n的关系式为

n-2

m-3

=1，即m-n-1=0．…（7分）
②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x-1）．
将y=k（x-1）代入

x2

3

+y2=1整理化简得，（3k²+1）x²-6k²x+3k²-3=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x1+x2=

6k2

3k2+1

，x1x2=

3k2-3

3k2+1

．…（9分）
又y₁=k（x₁-1），y₂=k（x₂-1）．
所以k1+k3=

2-y1

3-x1

+

2-y2

3-x2

=

(2-y1)(3-x2)+(2-y2)(3-x1)

(3-x1)(3-x2)

=

[2-k(x1-1)](3-x2)+[2-k(x2-1)](3-x1)

x1x2-3(x1+x2)+9

=

2kx1x2-(4k+2)(x1+x2)+6k+12

x1x2-3(x1+x2)+9

=

2k× 3k2-3 3k2+1 -(4k+2)× 6k2 3k2+1 +6k+12

3k2-3 3k2+1 -3× 6k2 3k2+1 +9

=

2(12k2+6)

12k2+6

=2．…（12分）
所以2k₂=2，所以k2=

n-2

m-3

=1，所以m，n的关系式为m-n-1=0．…（13分）
综上所述，m，n的关系式为m-n-1=0．…（14分）

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查直线的斜率，利用k₁+k₃=2k₂，确定k₂的值是关键．