Question

【题目】如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，AC=BC= AA1=1，D是棱AA1上的点，DC1⊥BD
（Ⅰ）求证：D为AA1中点；
（Ⅱ）求直线BC1与平面BDC所成角正弦值大小；
（Ⅲ）在△ABC边界及内部是否存在点M，使得B1M⊥面BDC，存在，说明M位置，不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】证明：（Ⅰ）根据题意以CA、CB、CC1所在直线为x，y，z轴，

建立空间直角坐标系，

∴D（1，0，h），C1（0，0，2），B（0，1，0），B1（0，1，2），

∴ =（﹣1，0，2﹣h）， =（1，﹣1，h），

∴﹣1+h（2﹣h）=0，解得h=1，

∴D为AA1的中点．

（Ⅱ） =（0，﹣1，2），

设面BDC的法向量 =（x，y，z），

则 ，设x=1，得 =（1，0，﹣1），

设直线BC1与平面BDC所成角为θ，

则sinθ= = = ．

∴直线BC1与平面BDC所成角正弦值大小为 ．

（Ⅲ）设M（x，y，0），0≤x≤1，0≤y≤1，x+y≤1，

∴ ，

∵B1M⊥面BDC，∴ ，

∴ ，解得 ，

∵x＞1，∴在△ABC边界及内部是不存在点M，使得B1M⊥面BDC．

【解析】（Ⅰ）根据题意以CA、CB、CC1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明D为AA1的中点．（Ⅱ）求出面BDC的法向量，利用向量法能求出直线BC1与平面BDC所成角正弦值．（Ⅲ）设M（x，y，0），0≤x≤1，0≤y≤1，x+y≤1，利用向量法推导出在△ABC边界及内部是不存在点M，使得B1M⊥面BDC．
【考点精析】利用直线与平面垂直的判定和空间角的异面直线所成的角对题目进行判断即可得到答案，需要熟知一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想；已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则．