Question

如右图所示，四边形ABCD是边长为6的正方形，SA⊥平面ABCD，SA=8，M是SA的中点，过M和BC的平面交SD于N．

　　(1)求二面角M－BC－D大小的正切值；

　　(2)求CN与平面ABCD所成角的正切值；

(3)求CN与BD所成角的余弦值；

(4)求平面SBC与SDC所成角大小的正弦值．

Answer 1

答案：
解析：

(1)∵BC‖AD ∴BC‖平面SAD又平面MBCN∩平面SAD=MN． ∴MN AD． ∵SA⊥平面ABCD，∴SA⊥BC． 又BC⊥AB，∴BC⊥BM． ∴∠ABM为二面角M－BC－D的平面角在Rt△MAB中，tg∠ABM==．     SA⊥平面ABCD 　　(2)平面SAD⊥平面ABCD　　 NE⊥平面ABCD． 过N作NE⊥AD ∴∠NCE是CN与底面ABCD所成的角． 由NE=AM=4，CE==3，   ∴tan∠NCE=．   (3)过C作CF‖BE交AD的延长线于F，则∠NCF为BD与CN所成的角．    ∵CN2=NE2+CE2=61， CF=BD=6． FN2=NE2+FE2=97． 在△NCF中，由余弦定理，得 cos∠NCF=． (4)过点B作BG⊥SC于G，连接DG，显然由Rt△SBC≌Rt△SDC得DG⊥SC． ∴∠BGD为两平面SBC与SDC所成二面角的平面角． ∵BG=DG==．   ∵∠BGD=2∠BGO，sin∠BGO=，  　 ∴sin∠BGD=．