Question

直线AB过抛物线x²=2py(p＞0)的焦点9，并与其相交于A、B两点，Q是线段AB的中点，M是抛物线的准线与y轴的交点，O是坐标原点.

(1)求证的取值范围；

(2)过A、B两点分别作此抛物线的切线，两切线相交于N点，

求证：；

(3)设直线AB与x轴、y轴的两个交点分别为K和L，当=4p²，△ABN的面积的取值范围限定为[]时，求动线段KL的轨迹所形成的平面区域的面积.

Answer 1

解：由（1）条件M(0,-),F(0,)，设直线AB的方程为

y=kx+,A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)则=2py₁,=2py₂,Q().

由消去y并整理得x²-2pkx-p²=0.

根据韦达定理得x₁+x₂=2pk,x₁x₂=-p².

进而有y₁y₂=,

y₁+y₂=k(x₁+x₂)+p=2pk²+p.

∴=(x₁,y₁+)·(x₂,y₂+)

=x₁x₂+y₁y₂+(y₁+y₂)+

=-p²++(2pk²+p)+

=p²k²≥0.

∴的取值范围是.

（2）抛物线的方程可化为y=x²,求导得.

从而k_NA=.

∴切线NA的方程为y-(x-x₁),

即y=,

切线NB的方程为y-(x-x₂),即y=.

由

∴N（）,

而x₁+x₂=2pk,x₁x₂=-p²,

∴N(pk,-).

而M(0,-),Q()即(pk,pk²+).

∴=(pk,0),=(0,pk²+p),

又=(0,),∴=0,∥.

（3）由于=4p²,而根据(1)知=p²k²,

∴4p²=p²k²,又p＞0,∴k²=4,k=±2.

由于=(-pk,p),

=(x₂-x₁,y₂-y₁)=(x₂-x₁,)

=(x₂-x₁)(1,)=(x₂-x₁)(1,k),

∴=(-pk,p)·(x₂-x₁)(1,k)

=(x₂-x₁)(-pk+pk)=0.

从而,又=

||=y₁+y₂+p=2pk²+2p=2p(k²+1)=10p.

∴S_ΔABN==.

而S_ΔABN的取值范围是[5]，

∴.

而p＞0,所以1≤p≤2.

由（1）知直线AB的方程为y=kx+,

即有y=±2x+,1≤p≤2.

所以直线AB在x、y轴上的截距有

当k=-2,p=1时,为;

当k=-2,p=2时,为和1;

当k=2,p=1时，为-;

当k=2,p=2时，为-和1.

从而动线段KL的轨迹所形成的平面区域如图所示，其面积为S=S

=

=.