Question

直线AB过抛物线x²=2py（p>0）的焦点F，并与其相交于A、B两点，Q是线段AB的中点，M是抛物线的准线与y轴的交点，O是坐标原点.

   （Ⅰ）求的取值范围；

   （Ⅱ）过A、B两点分别作此抛物线的切线，两切线相交于N点.

        求证：；

   （Ⅲ）若p是不为1的正整数，当，△ABN的面积的取值范围为［5，20］时，求该抛物线的方程.

Answer 1

（Ⅰ）·的取值范围是.   

   （Ⅱ）证明见解析

   （Ⅲ）抛物线的方程：x²=4y.    

解析:

（Ⅰ）由条件得M(0，－)，F(0，).设直线AB的方程为

       y=kx+，A(，)，B(，)

       则，，Q().   …………………………2分

       由得.

       ∴由韦达定理得+=2pk，·=－    …………………………3分

       从而有= +=k(+)+p=2pk÷p.

       ∴·的取值范围是.      …………………………4分

   （Ⅱ）抛物线方程可化为，求导得.

       ∴       =y     .

       ∴切线NA的方程为：y－即.

       切线NB的方程为：  …………………………6分

       由解得∴N()

       从而可知N点Q点的横坐标相同但纵坐标不同.

       ∴NQ∥OF.即    …………………………7分

       又由（Ⅰ）知+=2pk，·=－p

       ∴N(pk，－).      …………………………8分

       而M(0，－)  ∴

       又. ∴.       …………………………9分

   （Ⅲ）由.又根据(Ⅰ)知

       ∴4p=pk，而p>0，∴k=4，k=±2.   …………………………10分

       由于=(－pk，p)，  

       ∴

       从而.         …………………………11分

       又||=，||=

       ∴.

       而的取值范围是［5，20］.

       ∴5≤5p²≤20，1≤p²≤4.   …………………………13分

       而p>0，∴1≤p≤2.

       又p是不为1的正整数.

       ∴p=2.

       故抛物线的方程：x²=4y.      …………………………14分