Question

（2013•眉山二模）已知函数g（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0）的导函数为f（x），a+b+c=0，且f（0）•f（1）＞0，设x₁，x₂是方程f（x）=0的两个根，则|x₁-x₂|的取值范围为（　　）

• A．[

  3

  3

  ，

  2

  3

  )
• B．[

  1

  3

  ，

  4

  9

  )
• C．[

  1

  3

  ，

  3

  3

  )
• D．[

  1

  9

  ，

  1

  3

  )

Answer 1

分析：由题意得：f（x）=3ax²+2bx+c，x₁，x₂是方程f（x）=0的两个根，由韦达定理得，x₁+x₂=-

2b

3a

，x₁x₂=

c

3a

，于是求|x1-x2|2
=

4b2-12ac

9a2

，又a+b+c=0，从而有|x1-x2|2=

4

9

•(

b

a

)2+

4

3

（

b

a

）+

4

3

①，又f（0）•f（1）＞0，可求得-2＜

b

a

＜-1，代入①即可求得|x1-x2|2的范围，从而得到选项．

解答：解：由题意得：f（x）=3ax²+2bx+c，
∵x₁，x₂是方程f（x）=0的两个根，故x₁+x₂=-

2b

3a

，x₁x₂=

c

3a

，
∴|x1-x2|2=(x1+x2) 2-4x₁•x₂=

4b2-12ac

9a2

，
又a+b+c=0，
∴c=-a-b代入上式，
∴|x1-x2|2=

4b2+12a(a+b)

9a2

=

12a2+4b2+12ab

9a2

=

4

9

•(

b

a

)2+

4

3

（

b

a

）+

4

3

①，
又∵f（0）•f（1）＞0，
∴（a+b）（2a+b）＜0，即2a²+3ab+b²＜0，
∵a≠0，两边同除以a²得：
(

b

a

)2+3

b

a

+2＜0；
∴-2＜

b

a

＜-1，代入①得|x1-x2|2∈[

1

3

，

4

9

）
∴|x₁-x₂|∈[

3

3

，

2

3

）．
故选A．

点评：本题考查根与系数的关系，着重考查韦达定理的使用，难点在于对条件“f（0）•f（1）＞0”的挖掘，充分考察数学思维的深刻性与灵活性，属于难题．