Question

设函数f（x）=ka^x-a^-x（a＞0且a≠1，k∈R），f（x）是定义域为R上的奇函数．
（1）求k的值，并证明当a＞1时，函数f（x）是R上的增函数；
（2）已知f(1)=

3

2

，函数g（x）=a^2x+a^-2x-4f（x），x∈[1，2]，求g（x）的值域；
（3）若a=4，试问是否存在正整数λ，使得f（2x）≥λ•f（x）对x∈[-

1

2

，

1

2

]恒成立？若存在，请求出所有的正整数λ；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由f（x）为R上的奇函数可得f（0）=0，解得k值，然后进行检验，根据增函数的定义即可证明其单调性；
（2）由f（1）=

3

2

可求得a值，则g（x）=）=（2^x-2^-x）²-4（2^x-2^-x）+2，令t=2^x-2^-x（1≤x≤2），由此g（x）可化为关于t的二次函数，求出t的范围，根据二次函数的性质即可求得g（x）的最小值、最大值，从而得其值域；
（3）按照x=0，0＜x≤

1

2

，-

1

2

≤x＜0三种情况，分离出参数λ后转化为函数最值解出λ相应范围，最后取其交集即可；

解答：解：（1）∵f（x）=ka^x-a^-x是定义域为R上的奇函数，
∴f（0）=0，得k=1．
此时，f（x）=a^x-a^-x，f（-x）=a^-x-a^x=-f（x），即f（x）是R上的奇函数．
设x₂＞x₁，则f（x₂）-f（x₁）=ax2-

1

ax2

-（ax1-

1

ax1

）=（ax2-ax1）（1+

1

ax2ax1

），
∵a＞1，x₂＞x₁，∴ax2＞ax1，
∴f（x₂）-f（x₁）＞0，
∴f（x）在R上为增函数．
（2）∵f（1）=

3

2

，∴a-

1

a

=

3

2

，即2a²-3a-2=0，
解得a=2或a=-

1

2

（舍去），
∴g（x）=2^2x+2^-2x-4（2^x-2^-x）=（2^x-2^-x）²-4（2^x-2^-x）+2，
令t=2^x-2^-x（1≤x≤2），
由（1）知t=2^x-2^-x[1，2]上为增函数，∴t∈[

3

2

，

15

4

]，
∴g（x）=Φ（t）=t²-4t+2=（t-2）²-2，
当t=

15

4

时，g（x）有最大值

17

16

，当t=2时，g（x）有最小值-2，
∴g（x）的值域[-2，

17

16

]．
（3）f（2x）=4^2x-4^-2x=（4^x+4^-x）•（4^x-4^-x），f（x）=4^x-4^-x，
假设存在满足条件的正整数λ，则（4^x+4^-x）•（4^x-4^-x）≥λ•（4^x-4^-x），
①当x=0时，λ∈R；
②当x∈(0，

1

2

]时，4^x-4^-x＞0，则λ≤4^x+4^-x，
令μ=4^x，则μ∈（1，2]，易证z=μ+

1

μ

在（1，2]上是增函数，
则λ≤z（1）=2；
③当x∈[-

1

2

，0)时，4^x-4^-x＜0，则λ≥4x+

1

4x

，
令μ=4^x，则μ∈[

1

2

，1)，易证z=μ+

1

μ

在[

1

2

，1）上是减函数，
所以λ≥z（

1

2

）=

5

2

，
综上所述，知不存在正整数λ满足题意．

点评：本题是对函数单调性和奇偶性的综合考查．对函数单调性和奇偶性的综合考查的一般出题形式是解不等式的题，解题方法是先利用奇偶性进行转化，再利用单调性解不等式．