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如图,已知:射线OA为y=kx(k>0,x>0),射线OB为y=-kx(x>0),动点P(x,y)在∠AOx的内部,PM⊥OA于M,PN⊥OB于N,四边形ONPM的面积恰为k.
(1)设M(a,ka),N(b,-kb),(a>0,b>0),求P(x,y)(x>0,0<y<kx)分别到直线OM,ON的距离.
(2)当k为定值时,动点P的纵坐标y是横坐标x的函数,求这个函数y=f(x)的解析式;
(3)根据k的取值范围,确定y=f(x)的定义域.
分析:(1)先要仔细分析题目所给的条件,设出点M、N的坐标,代入点到直线距离公式,可求出点P到直线OM,ON的距离.
(2)将四边形分解成两个三角形:三角形OMP、三角形ONP分别表示出面积,然后求和即可找到x、y之间的关系式,进而即可获得问题的解答;
(3)首先由0<y<kx,得到x必须的范围,然后根据k分类讨论,同时注意要构成四边形的隐含条件,进而即可获得自变量x的范围,最后注意分情况下结论,进而问题即可获得解答.
解答:解:(1)设M(a,ka),N(b,-kb),(a>0,b>0).
则|OM|=a
1+k2
,|ON|=b
1+k2

(2)由动点P在∠AOx的内部,得0<y<kx.
∴|PM|=
|kx-y|
1+k2
=
kx-y
1+k2
,|PN|=
|kx+y|
1+k2
=
kx+y
1+k2

∴S四边形ONPM=S△ONP+S△OPM=
1
2
(|OM|•|PM|+|ON|•|PN|)
=
1
2
[a(kx-y)+b(kx+y)]=
1
2
[k(a+b)x-(a-b)y]=k
∴k(a+b)x-(a-b)y=2k①
又由kPM=-
1
k
=
y-ka
x-a
,kPN=
1
k
=
y+kb
x-b

分别解得a=
x+ky
1+k2
,b=
x-ky
1+k2
,代入①式消a、b,并化简得x2-y2=k2+1.
∵y>0,
∴y=
x2-k2-1

(3)由0<y<kx,得0<
x2-k2-1
<kx?0<x2-k2-1<k2x2?(1-k2)x2<k2+1<x(*)
当k=1时,不等式②为0<2恒成立,∴(*)?x>
2

当0<k<1时,由不等式②得x2
k2+1
1-k2
,x<
1-k4
1-k2

∴(*)?
1+k2
<x<
1-k4
1-k2

当k>1时,由不等式②得x2
k2+1
1-k2
,且
k2+1
1-k2
<0,
∴(*)?x>
1+k2

但垂足N必须在射线OB上,否则O、N、P、M四点不能组成四边形,所以还必须满足条件:y<
1
k
x,将它代入函数解析式,得
x2-k2-1
1
k
x
解得
1+k2
<x<
k
k4-1
k2-1
(k>1),或x∈k(0<k≤1).
综上:当k=1时,定义域为{x|x>
2
};
当0<k<1时,定义域为{x|
1+k2
<x<
1-k4
1-k2
};
当k>1时,定义域为{x|
1+k2
<x<
k
k4-1
k2-1
}.
点评:本题考查的是函数解析式的求解和定义域的求解的综合类问题.在解答的过程当中充分体现了图形分割的思想、分类讨论的思想以及问题转化的思想.值得同学们体会和反思.
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(1)当k为定值时,动点P的纵坐标y是横坐标x的函数,求这个函数y=f(x)的解析式;
(2)根据k的取值范围,确定y=f(x)的定义域.

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(1)当k为定值时,动点P的纵坐标y是横坐标x的函数,求这个函数y=f(x)的解析式;  
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