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如图,已知:射线OA为y=kx(k>0,x>0),射线OB为y=-kx(x>0),动点P(x,y)在∠AOx的内部,PM⊥OA于M,PN⊥OB于N,四边形ONPM的面积恰为k.
(1)设M(a,ka),N(b,-kb),(a>0,b>0),求P(x,y)(x>0,0<y<kx)分别到直线OM,ON的距离.
(2)当k为定值时,动点P的纵坐标y是横坐标x的函数,求这个函数y=f(x)的解析式;
(3)根据k的取值范围,确定y=f(x)的定义域.

【答案】分析:(1)先要仔细分析题目所给的条件,设出点M、N的坐标,代入点到直线距离公式,可求出点P到直线OM,ON的距离.
(2)将四边形分解成两个三角形:三角形OMP、三角形ONP分别表示出面积,然后求和即可找到x、y之间的关系式,进而即可获得问题的解答;
(3)首先由0<y<kx,得到x必须的范围,然后根据k分类讨论,同时注意要构成四边形的隐含条件,进而即可获得自变量x的范围,最后注意分情况下结论,进而问题即可获得解答.
解答:解:(1)设M(a,ka),N(b,-kb),(a>0,b>0).
则|OM|=a,|ON|=b
(2)由动点P在∠AOx的内部,得0<y<kx.
∴|PM|==,|PN|==
∴S四边形ONPM=S△ONP+S△OPM=(|OM|•|PM|+|ON|•|PN|)
=[a(kx-y)+b(kx+y)]=[k(a+b)x-(a-b)y]=k
∴k(a+b)x-(a-b)y=2k①
又由kPM=-=,kPN==
分别解得a=,b=,代入①式消a、b,并化简得x2-y2=k2+1.
∵y>0,
∴y=
(3)由0<y<kx,得0<<kx?0<x2-k2-1<k2x2?(1-k2)x2<k2+1<x(*)
当k=1时,不等式②为0<2恒成立,∴(*)?x>
当0<k<1时,由不等式②得x2,x<
∴(*)?<x<
当k>1时,由不等式②得x2,且<0,
∴(*)?x>
但垂足N必须在射线OB上,否则O、N、P、M四点不能组成四边形,所以还必须满足条件:y<x,将它代入函数解析式,得x
解得<x<(k>1),或x∈k(0<k≤1).
综上:当k=1时,定义域为{x|x>};
当0<k<1时,定义域为{x|<x<};
当k>1时,定义域为{x|<x<}.
点评:本题考查的是函数解析式的求解和定义域的求解的综合类问题.在解答的过程当中充分体现了图形分割的思想、分类讨论的思想以及问题转化的思想.值得同学们体会和反思.
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(1)当k为定值时,动点P的纵坐标y是横坐标x的函数,求这个函数y=f(x)的解析式;
(2)根据k的取值范围,确定y=f(x)的定义域.

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(1)设M(a,ka),N(b,-kb),(a>0,b>0),求P(x,y)(x>0,0<y<kx)分别到直线OM,ON的距离.
(2)当k为定值时,动点P的纵坐标y是横坐标x的函数,求这个函数y=f(x)的解析式;
(3)根据k的取值范围,确定y=f(x)的定义域.

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如图,已知:射线OA为,射线OB为,动点P(x,y)在的内部,于M,于N,四边形ONPM的面积恰为k.  
(1)当k为定值时,动点P的纵坐标y是横坐标x的函数,求这个函数y=f(x)的解析式;  
(2)根据k的取值范围,确定y=f(x)的定义域。

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