Question

如图，已知：射线OA为y=kx（k＞0，x＞0），射线OB为y=-kx（x＞0），动点P（x，y）在∠AOx的内部，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，四边形ONPM的面积恰为k．
（1）当k为定值时，动点P的纵坐标y是横坐标x的函数，求这个函数y=f（x）的解析式；
（2）根据k的取值范围，确定y=f（x）的定义域．

Answer 1

分析：本题考查的是函数解析式的求解和定义域的求解的综合类问题．在解答时：
（1）先要仔细分析题目所给的条件，设出点M、N的坐标，将四边形分解成两个三角形：三角形OMP、三角形ONP分别表示出面积，然后求和即可找到x、y之间的关系式，进而即可获得问题的解答；
（2）首先由0＜y＜kx，得到x必须的范围，然后根据k分类讨论，同时注意要构成四边形的隐含条件，进而即可获得自变量x的范围，最后注意分情况下结论，进而问题即可获得解答．

解答：解：（1）设M（a，ka），N（b，-kb），（a＞0，b＞0）．
则|OM|=a

1+k2

，|ON|=b

1+k2

．
由动点P在∠AOx的内部，得0＜y＜kx．
∴|PM|=

|kx-y|

1+k2

=

kx-y

1+k2

，|PN|=

|kx+y|

1+k2

=

kx+y

1+k2

∴S_{四边形ONPM}=S_△ONP+S_△OPM=

1

2

（|OM|•|PM|+|ON|•|PN|）
=

1

2

[a（kx-y）+b（kx+y）]=

1

2

[k（a+b）x-（a-b）y]=k
∴k（a+b）x-（a-b）y=2k①
又由k_PM=-

1

k

=

y-ka

x-a

，k_PN=

1

k

=

y+kb

x-b

，
分别解得a=

x+ky

1+k2

，b=

x-ky

1+k2

，代入①式消a、b，并化简得x²-y²=k²+1．
∵y＞0，∴y=

x2-k2-1

．
（2）由0＜y＜kx，得0＜

x2-k2-1

＜kx?

x2-k2-1＞0 x2-k2-1＜k2x2

?

x＞ k2+1 (1-k2)x2＜k2+1②

（*）
当k=1时，不等式②为0＜2恒成立，∴（*）?x＞

2

．
当0＜k＜1时，由不等式②得x²＜

k2+1

1-k2

，x＜

1-k4

1-k2

，∴（*）?

k2+1

＜x＜

1-k4

1-k2

．
当k＞1时，由不等式②得x²＞

k2+1

1-k2

，且

k2+1

1-k2

＜0，∴（*）?x＞

k2+1

但垂足N必须在射线OB上，否则O、N、P、M四点不能组成四边形，所以还必须满足条件：y＜

1

k

x，将它代入函数解析式，得

x2-k2-1

＜

1

k

x
解得

k2+1

＜x＜

k k4-1

k2-1

（k＞1），或x∈k（0＜k≤1）．
综上：当k=1时，定义域为{x|x＞

2

}；
当0＜k＜1时，定义域为{x|

k2+1

＜x＜

1-k4

1-k2

}；
当k＞1时，定义域为{x|

k2+1

＜x＜

k k4-1

k2-1

}．

点评：本题考查的是函数解析式的求解和定义域的求解的综合类问题．在解答的过程当中充分体现了图形分割的思想、分类讨论的思想以及问题转化的思想．值得同学们体会和反思．