Question

18．如图，ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，∠BAD=60°．
（Ⅰ）求证：平面PBD⊥平面PAC；
（Ⅱ）求点A到平面PBD的距离．

Answer 1

分析 （Ⅰ）要证平面PBD⊥平面PAC，我们可以在一个平面内寻找另一平面的垂线，即证BD⊥平面PAC．利用线线垂直，可以证得线面垂直；
（Ⅱ）先找出表示点A到平面PBD的距离的线段，AC∩BD=O，连接PO，过A作AE⊥PO交PO于E，所以AE⊥平面PBD，AE就是所求的距离，故可求；

解答 （Ⅰ）证明：由ABCD是菱形可得BD⊥AC，
因为PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
所以PA⊥BD，又PA∩AC=A，
所以BD⊥平面PAC，又BD?平面PBD，
故平面PBD⊥平面PAC．
（Ⅱ）解：由题意可得：$PB=PD=\sqrt{{2^2}+{2^2}}=2\sqrt{2}$，BD=2，
所以${S_{△PBD}}=\frac{1}{2}×2×\sqrt{7}=\sqrt{7}$．
又${S_{△ABD}}=\frac{1}{2}×2×2×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\sqrt{3}$．
所以三棱锥P-ABD的体积V=$\frac{1}{3}$S_△ABD•PA=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
设点A到平面PBD的距离为h，
又${V_{P-ABD}}=\frac{1}{3}{S_{△PBD}}•h=\frac{{\sqrt{7}}}{3}h$，
所以$\frac{{\sqrt{7}}}{3}h=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，$h=\frac{{2\sqrt{21}}}{7}$．
故点A到平面PBD的距离h为$\frac{{2\sqrt{21}}}{7}$．

点评 本题以线面垂直为载体，考查面面垂直，考查点面距离，解题的关键是正确运用面面垂直的判定定理，找出表示点面距离的线段．