Question

已知函数是定义在（-1，1）上的奇函数，且，
①求函数f（x）的解析式；
②判断函数f（x）在（-1，1）上的单调性并用定义证明；
③解关于x的不等式f（log₂x-1）+f（log₂x）＜0．

Answer 1

解：①依题意得，即，解得：．
∴f（x）=．
②f（x）在（-1，1）上是增函数，
证明如下：任取-1＜x₁＜x₂＜1，
则f（x₁）-f（x₂）=．
∵-1＜x₁＜x₂＜1
∴x₁-x₂＜0，1-x₁x₂＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
∴f（x）在（-1，1）上是增函数．
③令log₂^x=t，则不等式f（log₂x-1）+f（log₂x）＜0，
转化为f（t-1）+f（t）＜0?f（t-1）＜-f（t）=f（-t）．
∵f（x）在（-1，1）上是增函数；
∴-1＜t-1＜-t＜1?0＜t＜．
∴0＜log₂^x＜?1＜x＜．
∴不等式f（log₂x-1）+f（log₂x）的解集为（1，）．
分析：①直接根据f（0）=0以及，得到关于a，b的两个等式，求出a，b的值即可得到函数f（x）的解析式；
②直接利用单调性的定义证明即可得到证明其单调性；
③令log₂^x=t，直接利用其为奇函数把不等式转化为f（t-1）＜f（-t）；再根据其单调性即可得到不等式的解集．
点评：本题主要考察对数函数图象与性质的综合应用．解决问题的关键在于根据奇函数定义域内有0得到f（0）=0．