Question

已知S_k为数列{a_n}的前k项和，且S_k+S_k+1＝a_k+1(k∈N₊)．那么此数列是

1. A.
   单调增数列
2. B.
   单调减函数
3. C.
   常数列
4. D.
   摆动数列

Answer 1

C
解：∵S_k+S_k+1＝a_k+1(k∈N+)，∴S_k-1+S_k＝a_k(k≥2)．两式相减，得a_k+a_k+1＝a_k+1-a_k．∴a_k＝0(k≥2)．
而当k＝1时，原式为S₁₊S₂＝a₂．
∴a₁₊(a₁₊a₂)＝a₂，∴2a₁＝0，∴a₁＝0．
从而a_n＝0(n∈N+)．即数列{a_n}为常数列，故选C．
分析：判断数列的单调性，需要求出数列的通项公式，可以考虑用a_n＝S_n-S_n-1(n≥2)来解决．
点评：(1)本题是一个判断数列单调性的题目．一般情况下，要根据数列的通项公式，依据单调性的定义去判断．只不过，本题的通项公式很特殊罢了．(2)解题时，不要忽略对n≥2的讨论．