Question

4．已知函数f（x）=1og₂²x+alog${\;}_{\frac{1}{4}}$（4x），x∈[1，4]，当a=1时，求f（x）的最值；若f（x）的最小值为3，求a的值．

Answer 1

分析 设log₂x=t（0≤t≤2），函数可化为1og₂²x-alog₄（4x）=t²-$\frac{1}{2}$at-a，求出对称轴，讨论与区间[0，2]的关系，求得最小值，再由a=1，以及最小值为3，即可得到所求值．

解答 解：设log₂x=t（0≤t≤2），
则y=1og₂²x+alog${\;}_{\frac{1}{4}}$（4x）
=1og₂²x-alog₄（4x）=t²-$\frac{1}{2}$at-a
=（t-$\frac{1}{4}$a）²-a-$\frac{{a}^{2}}{16}$，
当$\frac{a}{4}$≥2即a≥8时，区间[0，2]为减区间，
即有t=2时，取得最小值，且为4-2a；
当$\frac{a}{4}$≤0即a≤0时，区间[0，2]为增区间，
即有t=0时，取得最小值，且为-a；
当0＜$\frac{a}{4}$＜2即0＜a＜8时，t=$\frac{a}{4}$时，取得最小值，且为-a-$\frac{{a}^{2}}{16}$．
即有f（x）的最小值为g（a）=$\left\{\begin{array}{l}{-a，a≤0}\\{-a-\frac{{a}^{2}}{16}，0＜a＜8}\\{4-2a，a≥8}\end{array}\right.$．
当a=1时，f（x）的最小值为g（a）=-1-$\frac{1}{16}$=-$\frac{17}{16}$；
若最小值为3，即g（a）=3，
由-a=3，解得a=-3；
-a-$\frac{{a}^{2}}{16}$=3，解得a=-4或-12，均小于0；
4-2a=3，解得a=$\frac{1}{2}$＜8．
综上可得a=-3．

点评 本题考查函数的最值的求法，注意运用换元法和对数函数的单调性，借助二次函数的对称轴和区间的关系，运用分类讨论的思想方法是解题的关键．