Question

已知向量=（sinωx，1），=（ωx，ωx）（A＞0，ω＞0），函数f（x）=的最大值为3，且其图象相邻两条对称轴之间的距离为π．
（I）求函数f（x）的解析式；
（II）将函数y=f（x）的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象．
（1）求函数g（x）的单调递减区间；
（2）求函数g（x）在上的值域．

Answer 1

解：（I）函数f（x）==Asinωxcosωx+cos2ωx=A（sinωxcosωx+cos2ωx）=Asin（2ωx+），…（3分）
因为函数f（x）的最大值为3，且其图象相邻两条对称轴之间的距离为π，
所以A=3，函数的周期T=2π，又 T=，所以ω=． …（5分）
所以 f（x）=3sin（x+）． …（6分）
（II）将函数y=f（x）的图象向左平移个单位，得到函数 y=3sin[（x+）+]的图象，
再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的 倍，纵坐标不变，得到函数g（x）=3sin（2x+）的图象． …（8分）
（1）因为函数y=sinx 的单调递减区间为[2kπ+，2kπ+]，（k∈z ），
所以 2kπ+≤2x+≤2kπ+，解得 kπ+≤x≤kπ+，
所以函数g（x）的单调递减区间为[kπ+，kπ+]，（k∈z）．…（11分）
（2）当x∈[，]时，2x+∈[，]，sin（2x+）∈[-，]，g（x）∈[-，]．
所以函数g（x）在[，]上的值域为[-，]． …（14分）
分析：（I）利用两个向量的数量积的定义、三角函数的恒等变换，化简函数f（x）的解析式为Asin（2ωx+），由最大值求得A，由周期求出ω，从而确定函数f（x）的解析式．
（II）根据y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律 求出函数g（x）=3sin（2x+）．（1）由2kπ+≤2x+≤2kπ+，求得x的范围，即可求得g（x）的单调递减区间．
（2）当x的范围，求得2x+的范围，可得sin（2x+）的范围，从而求得g（x）的范围．
点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，三角函数的恒等变换及化简求值，y=Asin（ωx+∅）的图象变换规律，正弦函数的定义域和值域、单调性，属于中档题．