Question

已知数列a₁，a₂，a₃，……，a₁₅，其中a₁，a₂，a₃，……，a₅是首项为1，公差为1的等差数列；a₅，a₆，a₇，……，a₁₀是公差为d(d≠0)的等差数列，a₁₀，a₁₁，……，a₁₅是公差为d²的等差数列．

(1)如果a₁₀＝20，求d；

(2)写出a₁₅关于d的关系式，并求a₁₅的取值范围；

(3)续写已知数列，使得a₁₅，a₁₆，……，a₂₀是公差为d³的等差数列，……依次类推，把已知数列推广为无穷数列．提出同(2)类似的问题((2)应当作为特例)，并进行研究，你能得到什么样的结论？

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)a10＝5＋5d＝20，d＝3 　　(2)a15＝5＋5d＋5d2＝5(d＋)2＋，a15≥且不等于5， 　　(3)推广为：已知数列a1，a2，a3，……，a15，a6，a7，……，a10a11，……，a15……a5n－5，a5n－4，a5n－3，……，a5n……其中a1，a2，a3，……，a5是首项为1，公差为1的等差数列；a5，a6，a7，……，a10是公差为d(d≠0)的等差数列，a10，a11，……，a15是公差为d2的等差数列，……a5n－5，a5n－4，a5n－3，……，a5n是公差为dn－1的等差数列……．写出a5n的关系式，并求a5n的取值范围． 　　a5n＝5＋5d＋5d2＋5d3＋…＋5dn－1 　　当d＞0时f(d)＝5＋5d＋5d2＋5d3＋…＋5dn－1显然为增函数． 　　当d＜0时，a5n＝ 　　令f(d)＝， 　　则f'(d)＝ 　　当n为正偶数时， 　　f'(d)＝＞0， 　　当n为正奇数且n＞3时， 　　f'(d)＝， 　　f'(－)＜0，f′(－)＞0，设f'(d0)＝0的根为d0，则－＜d0＜－ 　　∴f(d)的单调减区间为(－∞，d0)，单调增区间为(d0，＋∞) 　　a5n的取值范围是[，＋∞]且不等于5