Question

设函数f（x）对任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），当x≠0时，xf（x）＜0，f（1）=-2
（1）求证：f（x）是奇函数；
（2）试问：在-2≤x≤2时，f（x）是否有最大值？如果有，求出最大值，如果没有，说明理由．
（3）解关于x的不等式

1

2

f(bx)-f(x)＞

1

2

f(b2x)-f(b)．

Answer 1

分析：（1）设x=y=0可求得f（0）=0．设y=-x，化简可得f（-x）=-f（x），可得f（x）为奇函数．
（2）由xf（x）＜0，可得当x＞0时，f（x）＜0．任取x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0，根据 f（x₂）=f[（x₂-x₁）+x₁]=f（x₂-x₁）+f（x₁），可得f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁）＜0，f（x）为减函数．由此可得函数在[-2，2]上的最大值和最小值．
（3）由题设可知

1

2

f(bx)+f(b)＞

1

2

f(b2x)+f(x)，可化为f（bx+b+b）＞f（b²x+x+x）．再根据f（x）在R上为减函数，可得（b²-b+2）x＞2b，再根据b²-b+2＞0，求得不等式的解集．

解答：解：（1）由于函数f（x）对任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），设x=y=0可求得f（0）=0．
设y=-x，则f（0）=f（x）+f（-x），即f（-x）=-f（x），所以f（x）为奇函数．
（2）由xf（x）＜0，可得当x＞0时，f（x）＜0．
任取x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0，根据 f（x₂）=f[（x₂-x₁）+x₁]=f（x₂-x₁）+f（x₁），可得f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁）＜0，
所以f（x）为减函数．
故在-2≤x≤2时，函数最大值为f（-2），最小值为f（2），且f（-2）=-2f（1）=4，f（2）=f（1）=-4，
所以函数最大值为4，函数最小值为-4．
（3）由题设可知

1

2

f(bx)+f(b)＞

1

2

f(b2x)+f(x)，即

1

2

f(bx)+

1

2

f(b)+

1

2

f(b)＞

1

2

f(b2x)+

1

2

f(x)+

1

2

f(x)，
可化为

1

2

f(bx+b+b)＞

1

2

f(b2x+x+x)，即f（bx+b+b）＞f（b²x+x+x）．
∵f（x）在R上为减函数，∴bx+b+b＜b²x+x+x，（b²-b+2）x＞2b，又 b²-b+2＞0，∴x＞

2b

(b2-b+2)

，
故不等式的解集为{x|x＞

2b

(b2-b+2)

}．

点评：本题主要考查函数的奇偶性、单调性的判断，利用函数的单调性解不等式，属于中档题．