Question

已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点F在x轴上，且过点（1，2）。
（1）求抛物线C的方程；
（2）命题：“过椭圆的一个焦点F₁作与x轴不垂直的任意直线l交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点M，则为定值，且定值是”，命题中涉及了这么几个要素：给定的圆锥曲线Γ，过该圆锥曲线焦点F₁的弦AB，AB的垂直平分线与焦点所在的对称轴的交点M，AB的长度与F₁，M两点间的距离的比值。试类比上述命题，写出一个关于抛物线C的类似的正确命题，并加以证明；
（3）试推广（2）中的命题，写出关于抛物线的一般性命题（不必证明）。

Answer 1

解：（1）依题意，可设抛物线C的方程为：y²=2px（p>0）
∵抛物线C过点（1，2），
∴2²=2p，解得p=2
∴抛物线C的方程为：y²=4x。
（2）关于抛物线C的类似命题为：过抛物线y²=4x的焦点F（1，0）作与x轴不垂直的任意直线l交抛物线于A，B两点，线段A的垂直平分线交x轴于点M，则为定值，且定值是2。
证明如下： 设直线AB的方程为x=ty+1（t≠0），代入y²=4x，消去x，得y²-4ty-4=0
因为Δ=16t²+16>0，可设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则y₁+y₂=4t，y₁y₂=-4，x₁+x₂=t（y₁+y₂）+2=4t²+2，
所以线段AB中点P的坐标为（2t²+1，2t），
AB的垂直平分线MP的方程为y-2t= -t（x-2t²-1），
令y=0，解得x=2t²+3，即M（2t²+3，0），
所以|FM|=2t²+2
由抛物线定义可知|AB|=x₁+x₂+2=4t²+4，
所以。
（3）过抛物线的焦点F作与对称轴不垂直的任意直线l交抛物线于A，B两点，线段AB的垂直平分线交对称轴于点M，则为定值，且定值是2。