Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，BC=4，AB=5，AA₁=4，点D为AB的中点．
（Ⅰ）求证AC₁∥平面CDB₁
（Ⅱ）求异面直线AC₁与B₁C所成角的余弦值．

Answer 1

分析：（I）由OD是△ABC₁的中位线，得OD∥AC₁，再由线面平行的判定定理证明．    
（II）根据异面直线所成角的定义，判断∠COD为异面直线所成的角，利用余弦定理求解．

解答：解：（I）证明：记BC₁与CB₁交于点O，连OD
∵OD是△ABC₁的中位线，∴OD∥AC₁     
∵AC₁?面CDB₁OD?面CDB₁
∴AC₁∥平面CDB₁；
（II）由（I）知OD∥AC₁
∴∠COD为异面直线AC₁与B₁C所成的角，
∵在Rt△ACC₁中，AC=3，CC₁=4∴AC₁=5∴OD=

5

2

，
在正方形CBB₁C₁中，B₁C=4

2

，∴OC=2

2

，
∵BC=AC，∴CD⊥AB，∴CD=

AB

2

=

5

2

，
在△COD中，cos∠COD=

(2 2 )2+( 5 2 )2-( 5 2 )2

2×2 2 × 5 2

=

2 2

5

．

点评：本题考查了线面平行的证明，考查了求异面直线所成的角，考查学生的空间想象能力与运算能力．