Question

如图，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=5，BC=BB₁=8，M，N分别为BC，CC₁的中点．
（1）求证：BN⊥AB₁；
（2）求AC₁与平面AMB₁所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）以M为原点建立空间坐标系分别求出BN与AB₁的方向向量，判断两个向量数量积是否为0，即可得到BN⊥AB₁；
（2）求出AC₁的方向向量及平面AMB₁的法向量，代入向量夹角公式，即可得到AC₁与平面AMB₁所成角的正弦值

解答：解：∵AB=AC，M为BC的中点．
∴AM⊥BC
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁为直三棱柱
∴AM⊥平面B₁C
取B₁C₁中点P，连接MP
以M为原点，MB，MP，MA方向为x，y，z轴正方向建立空间坐标系，
∵AB=AC=5，BC=BB₁=8，M，N分别为BC，CC₁的中点，
且AM=

AB2-BM2

=3
∴M（0，，0，0），A（0，0，3），B（4，0，0），C（-4，0，0），N（-4，4，0），C₁（-4，8，0），B₁（4，8，0）
（1）

BN

=（-8，4，0），

AB1

=（4，8，-3），
∴

BN

•

AB1

=0
即BN⊥AB₁；
（2）由（1）知

BN

=（-8，4，0）是平面AMB₁的一个法向量
又∵

AC1

=（-4，8，-3）
设AC₁与平面AMB₁所成角为θ
则sinθ=

| AC1 • BN |

| AC1 |•| BN |

=

16 445

445

即AC₁与平面AMB₁所成角的正弦值为

16 445

445

点评：本题考查的知识点是用空间向量求直线与平面的夹角，其中建立空间坐标系，求出各点坐标，进而得到直线的方向向量和平面法向量的坐标是解答的关键．