Question

12．函数y=sin3x+cos3x的值域为[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，最小正周期为$\frac{2π}{3}$．

Answer 1

分析 利用三角函数的恒等变换，化简函数y，求出函数y的值域和最小正周期．

解答 解：∵函数y=sin3x+cos3x
=$\sqrt{2}$（$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin3x+$\frac{\sqrt{2}}{2}$cos3x）
=$\sqrt{2}$sin（3x+$\frac{π}{4}$），
且-1≤sin（3x+$\frac{π}{4}$）≤1，
∴-$\sqrt{2}$≤$\sqrt{2}$sin（3x+$\frac{π}{4}$）≤$\sqrt{2}$，
即函数y的值域为[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]；
其最小正周期为T=$\frac{2π}{3}$．
故答案为：[-$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$]，$\frac{2π}{3}$．

点评 本题考查了三角函数的化简与求值的应用问题，也考查了三角函数的恒等变换问题，是基本知识的考查．