Question

对数列{a_n}，如果?k∈N^*及λ₁，λ₂，…，λ_k∈R，使a_n+k=λ₁a_n+k-1+λ₂a_n+k-2+…+λ_ka_n成立，其中n∈N^*，则称{a_n}为k阶递归数列．给出下列三个结论：
①若{a_n}是等比数列，则{a_n}为1阶递归数列；
②若{a_n}是等差数列，则{a_n}为2阶递归数列；
③若数列{a_n}的通项公式为，则{a_n}为3阶递归数列．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

Answer 1

【答案】分析：利用等差数列、等比数列和数列{a_n}的通项公式为的性质，根据k阶递归数列的定义，逐个进行判断，能够求出结果．
解答：解：①∵{a_n}是等比数列，
∴a_n=，a_n+1=qa_n，
∴?k=1，λ=q，使a_n+k=qa_n+k-1成立，
∴{a_n}为1阶递归数列，故①成立；
②∵{a_n}是等差数列，
∴a_n=a₁+（n-1）d，
∴?k=2，λ₁=2，λ₂=-1，使a_n+2=λ₁a_n+k-1+λ₂a_n+k-2成立，
∴{a_n}为2阶递归数列，故②成立；
③∵若数列{a_n}的通项公式为，
∴?k=3，λ₁=3，λ₂=-3，λ₃=1，使a_n+3=λ₁a_n+k-1+λ₂a_n+k-2+λ₃a_n+k-3成立，
∴{a_n}为3阶递归数列，故③成立．
故选D．
点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意正确理解k阶递归数列的定义．