Question

【题目】“绿水青山就是金山银山”，为了保护环境，减少空气污染，某空气净化器制造厂，决定投入生产某种惠民型的空气净化器．根据以往的生产销售经验得到年生产销售的统计规律如下：①年固定生产成本为2万元；②每生产该型号空气净化器1百台，成本增加1万元；③年生产x百台的销售收入（万元）．假定生产的该型号空气净化器都能卖出（利润＝销售收入﹣生产成本）．

（1）为使该产品的生产不亏本，年产量x应控制在什么范围内？

（2）该产品生产多少台时，可使年利润最大？

Answer 1

【答案】（1）100台到550台之间；（2）年产300台时，可使利润最大

【解析】

（1）由题意，成本函数为，从而年利润函数为，要使不亏本，利用分段函数和二次函数的性质，即可求解．

（2）利用分段函数，求得每支上的最大值，即可得到函数的最大值，得到答案．

（1）由题意得，成本函数为，

从而年利润函数为．

要使不亏本，只要L（x）≥0，

①当0≤x≤4时，由L（x）≥0得﹣0.5x2+3x﹣2.5≥0, 解得1≤x≤4，

②当x＞4时，由L（x）≥0得5.5﹣x≥0, 解得4＜x≤5.5

综上1≤x≤5.5

答：若要该厂不亏本，产量x应控制在100台到550台之间

（2）当0≤x≤4时，L（x）= -0.5(x﹣3)2+2，

故当x =3时，L（x）max=2（万元），

当x＞4时，L（x）＜1.5＜2．

综上，当年产300台时，可使利润最大