分析:(1)新定义函数类型的题目,解答时要先充分理解定义:“平缓函数”才能答题,对于(1)只需按照定义作差:|f(x1)-f(x2)|,然后寻求|f(x2)-f(x1)|≤|x2-x1|成立的条件.
(2)的解答稍微复杂一些,此处除了用到放缩外,还有添项减项的技巧应用及对数列拆项求和的充分利用.
解答:解:(1)g(x)=sinx是R上的“平缓函数,但h(x)=x
2-x不是区间R的“平缓函数”;
设φ(x)=x-sinx,则φ'(x)=1-cosx≥0,则φ(x)=x-sinx是实数集R上的增函数,
不妨设x
1<x
2,则φ(x
1)<φ(x
2),即x
1-sinx
1<x
2-sinx
2,
则sinx
2-sinx
1<x
2-x
1,①
又y=x+sinx也是R上的增函数,则x
1+sinx
1<x
2+sinx
2,
即sinx
2-sinx
1>x
1-x
2,②
由 ①、②得-(x
2-x
1)<sinx
2-sinx
1<x
2-x
1因此|sinx
2-sinx
1|<|x
2-x
1|,对x
1<x
2的实数都成立,
当x
1>x
2时,同理有|sinx
2-sinx
1|<|x
2-x
1|成立
又当x
1=x
2时,不等式|sinx
2-sinx
1|=|x
2-x
1|=0,
故 对任意的实数x
1,x
2∈R均 有|sinx
2-sinx
1|≤|x
2-x
1|
因此 sinx是R上的“平缓函数.
由于|h(x
1)-h(x
2)|=|(x
1-x
2)(x
1+x
2-1)|
取x
1=3,x
2=1,则|h(x
1)-h(x
2)|=4>|x
1-x
2|,
因此,h(x)=x
2-x不是区间R的“平缓函数”.
(2)由(1)得:sinx是R上的“平缓函数,则|sinx
2-sinx
1|≤|x
2-x
1|,所以|y
n+1-y
n|≤|x
n+1-x
n|,
而
|xn+1-xn|≤,
所以
|yn+1-yn|≤<=(-)而|y
n+1-y
1|=|(y
n+1-y
n)+(y
n-y
n-1)+(y
n-1-y
n-2)+…(y
2-y
1)|
所以|y
n+1-y
1|≤|y
n+1-y
n|+|y
n-1-y
n-2|+…+|y
2-y
1|,
则
|yn+1-y1|≤[(-)+(-)+…+(1-)]因此
|yn+1-y1|≤(1-)<.
点评:本题抽象函数、新定义函数类型的概念,不等式的性质,放缩法的技巧,对于新定义类型问题,在解答时要先充分理解定义才能答题,避免盲目下笔,遇到困难才来重头读题,费时费力,另外要在充分抓住定义的基础上,对式子的处理要灵活,各个式子的内在联系要充分挖掘出来,可现有结论向上追溯,看看需要哪些条件才能得出结果,再来寻求转化取得这些条件.