Question

若函数f（x）对任意自然数x，y均满足：f（x+y²）=f（x）+2[f（y）]²，且f（1）≠0则f（2010）=

 

．

Answer 1

分析：利用特值，求出f（0），f（1）的值，令y=1，确定出f（x+1）与f（x）的关系，然后利用递推关系求出结果．

解答：解：y=0时 f（x）=f（x）+2f²（0）
解得f（0）=0
x=0，y=1时
f（1）=f（0）+2f²（1）=2f²（1）
因f（1）≠0
所以f（1）=

1

2

y=1时  f（x+1）=f（x）+2f²（1）=f（x）+2（

1

2

）²
所以f（x+1）=f（x）+

1

2

故f（2010）=f（2009+1）=f（2009）+

1

2

=f（2008）+

1

2

+

1

2

=f（2008）+（

1

2

）×2
=…=f（1）+（

1

2

）×2009
=

1

2

+（

1

2

）×2009
=

1

2

×2010
=1005
故答案为：1005．

点评：本题考查了抽象函数的应用，赋值法及递推关系是解决本题的关键．注意项数．