Question

7．已知动点P到点F（1，0）的距离等于它到直线l₁：x=-1的距离
（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）若点M，N是直线l₁上两个不同的点，且△PMN的内切圆方程为x²+y²=1，直线PF的斜率为k，求$\frac{|k|}{|MN|}$的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用已知条件，结合抛物线的定义，即可求点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）设点P（x₀，y₀），点M（-1，m），点N（-1，n），写出直线PM方程，化简得，（y₀-m）x-（x₀+1）y+（y₀-m）+m（x₀+1）=0．利用△PMN的内切圆方程为x²+y²=1，得到圆心（0，0）到直线PM的距离为1，求出$m+n=\frac{{-2{y_0}}}{{{x_0}-1}}$，$mn=\frac{{-（{{x_0}+1}）}}{{{x_0}-1}}$，求出|MN|．化简$\frac{|k|}{{|{MN}|}}=\sqrt{\frac{x_0}{{x_0^2+4{x_0}-1}}}=\sqrt{\frac{1}{{{x_0}-\frac{1}{x_0}+4}}}$利用函数的单调性求解范围即可．

解答 解：（Ⅰ）依题意，点P到点F（1，0）的距离等于它到直线l₁的距离，…（1分）
∴点P的轨迹是以点F为焦点，直线l₁：x=-1为准线的抛物线．…（2分）
∴曲线C的方程为y²=4x．…（3分）
（Ⅱ）设点P（x₀，y₀），点M（-1，m），点N（-1，n），
直线PM方程为：$y-m=\frac{{{y_0}-m}}{{{x_0}+1}}（{x+1}）$，…（4分）
化简得，（y₀-m）x-（x₀+1）y+（y₀-m）+m（x₀+1）=0．
∵△PMN的内切圆方程为x²+y²=1，
∴圆心（0，0）到直线PM的距离为1，即$\frac{{|{{y_0}-m+m（{{x_0}+1}）}|}}{{\sqrt{{{（{{y_0}-m}）}^2}+{{（{{x_0}+1}）}^2}}}}=1$．…（5分）
故${（{{y_0}-m}）^2}+{（{{x_0}+1}）^2}={（{{y_0}-m}）^2}+2m（{{y_0}-m}）（{{x_0}+1}）+{m^2}{（{{x_0}+1}）^2}$．
易知x₀＞1，上式化简得，$（{{x_0}-1}）{m^2}+2{y_0}m-（{{x_0}+1}）=0$．…（6分）
同理，有$（{{x_0}-1}）{n^2}+2{y_0}n-（{{x_0}+1}）=0$．…（7分）
∴m，n是关于t的方程$（{{x_0}-1}）{t^2}+2{y_0}t-（{{x_0}+1}）=0$的两根．
∴$m+n=\frac{{-2{y_0}}}{{{x_0}-1}}$，$mn=\frac{{-（{{x_0}+1}）}}{{{x_0}-1}}$．…（8分）
∴$|{MN}|=|{m-n}|=\sqrt{{{（{m+n}）}^2}-4mn}=\sqrt{\frac{4y_0^2}{{{{（{{x_0}-1}）}^2}}}+\frac{{4（{{x_0}+1}）}}{{{x_0}-1}}}$．…（9分）
∵$y_0^2=4{x_0}$，$|{y_0}|=2\sqrt{x_0}$，
∴$|{MN}|=\sqrt{\frac{{16{x_0}}}{{{{（{{x_0}-1}）}^2}}}+\frac{{4（{{x_0}+1}）}}{{{x_0}-1}}}$=$2\sqrt{\frac{{x_0^2+4{x_0}-1}}{{{{（{{x_0}-1}）}^2}}}}$．
直线PF的斜率$k=\frac{y_0}{{{x_0}-1}}$，则$|k|=|{\frac{y_0}{{{x_0}-1}}}|=\frac{{2\sqrt{x_0}}}{{|{{x_0}-1}|}}$．
∴$\frac{|k|}{{|{MN}|}}=\sqrt{\frac{x_0}{{x_0^2+4{x_0}-1}}}=\sqrt{\frac{1}{{{x_0}-\frac{1}{x_0}+4}}}$．…（10分）
∵函数$y=x-\frac{1}{x}$在（1，+∞）上单调递增，∴${x_0}-\frac{1}{x_0}＞1-1=0$．
∴${x_0}-\frac{1}{x_0}+4＞4$．∴$0＜\frac{1}{{{x_0}-\frac{1}{x_0}+4}}＜\frac{1}{4}$．…（11分）
∴$0＜\frac{|k|}{{|{MN}|}}＜\frac{1}{2}$．∴$\frac{|k|}{{|{MN}|}}$的取值范围为$（{0，\frac{1}{2}}）$．…（12分）

点评 本题考查轨迹方程的求法，抛物线的定义的应用，直线与抛物线的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．