Question

已知数列{a_n}中，S_n为该数列的前n项和，且S_n+1=a_n（1-a_n+1）+S_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若不等式对一切正整数n都成立，求正整数a的最大值，并证明结论．

Answer 1

解：（1）依题意作图如下：

∵图中x轴下方的等腰直角三角形与x轴上方、直线x=4及直线y=x-2组成的等腰直角三角形全等，
∴a₁=dx=×|=，
∵S_n+1=a_n（1-a_n+1）+S_n，
∴a_n+1=a_n-a_n•a_n+1，
∴-=1，又a₁=，故=2，
，∴{}是首项为2，公差为1的等差数列，
∴=2+（n-1）×1=n+1，
．∴．
（2）当n=1时，++＞，即＞，
所以a＜26，而a是正整数，
所以取a=25，下面用数学归纳法证明：++…+＞．
（1）当n=1时，已证；
（2）假设当n=k时，不等式成立，即++…+＞．
则当n=k+1时，
有++…+
=++…++++-
＞+[+-]．
因为+=＞，
所以+-＞0．
所以当n=k+1时不等式也成立．
由（1）（2）知，对一切正整数n，都有：++…+＞．
所以a的最大值等于25．
分析：（1）利用定积分可求得a₁=，再利用递推公式S_n+1=a_n（1-a_n+1）+S_n即可求得数列{a_n}的通项公式；
（2）当n=1时，++=＞，于是a＜26，据题意取a=25，用数学归纳法证明：++…+＞即可．
点评：本题考查数列递推式，考查数学归纳法，利用定积分求得a₁=是应用递推关系式S_n+1=a_n（1-a_n+1）+S_n的关键，通过数学归纳法的应用，考查推理证明的能力，属于难题．