Question

某种商品的价格为每件a元，若涨价x成时，卖出的数量便减少mx成（m为正常数）．
（Ⅰ）当m=0.8时，应涨几成价格，才能使售出的商品总金额最大？
（Ⅱ）若适当地涨价，能使销售款增加，那么m的值在什么范围内？

Answer 1

分析：（Ⅰ）某种商品去年售价为每件a元，可售出b件．今年涨价x成（1成=10%），则售出的数量减少mx成（m是正常数）．今年该商品售价为每件a(1+

x

10

)，售出的数量是b(1-

mx

10

)，从而可求售出总金额，利用配方法可求其最值；
（Ⅱ）原营业额为ab，若是营业额增加只要a(1+

x

10

)×b(1-

mx

10

)-ab的值大于零，从而可求m的范围．

解答：解：（Ⅰ）设卖出b件商品，则售出货款为y=ab．…（1分）
若涨价x成，每件售价为a（1+

x

10

）元，卖出了b（1-

mx

10

）件，
售出总金额为y=ab（1+

x

10

）（1-

mx

10

）．…（2分）
当m=0.8时，y=ab（1+

x

10

）（1-

2

25

x）=ab[-

1

125

（x-

5

4

）²+

81

80

]．…（2分）
故当x=

5

4

时，y取最大值，即涨价125%时，售出的总金额最大．…（2分）
（Ⅱ）由题意知a(1+

x

10

)×b(1-

mx

10

)-ab＞0
化简得：

m

100

x2+

m-1

10

x＜0
因为x＞0
所以

m

100

x +

m-1

10

＜0
∴mx＜10（1-m）
∴0＜x＜

10(1-m)

m

（m＞0）
∴

10(1-m)

m

＞ 0
∴0＜m＜1

点评：本题以实际问题为载体，考查函数模型的构建，考查配方法的运用，考查不等式的解法，解题的关键是审清题意，构造函数模型．