Question

【题目】已知在数列{an}中， ．，n∈N*
（1）求证：1＜an+1＜an＜2；
（2）求证： ；
（3）求证：n＜sn＜n+2．

Answer 1

【答案】
（1）证明：先用数学归纳法证明1＜an＜2．

①．n=1时 ，

②．假设n=k时成立，即1＜ak＜2．

那么n=k+1时， 成立．

由①②知1＜an＜2，n∈N*恒成立. ．

所以1＜an+1＜an＜2成立．

（2）证明： ，

当n≥3时， 而1＜an＜2．所以 ．

由 ，得 ，

所以

（3）证明：由（1）1＜an＜2得sn＞n

由（2）得 ，

【解析】（1）先用数学归纳法证明1＜an＜2．由. ．可证得1＜an+1＜an＜2成立．（2） ，
当n≥3时，由 ，得 ，
，

即可证得 （3）由（1）1＜an＜2得sn＞n
由（2）得 ，

【考点精析】根据题目的已知条件，利用数列的通项公式的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式．