Question

设F₁、F₂是椭圆的左、右焦点，过左焦点F₁的直线与椭圆交于A、B两点，若△ABF₂是以AF₂为斜边的等腰直角三角形，则该椭圆的离心率是（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：由△ABF₂是等腰直角三角形可知|AF₂|=|AB|=|BF₂|，设|AB|=|BF₂|=m，则|AF₂|=m，根据椭圆的定义可建立m，a之间的关系，然后根据B为直角，根据勾股定理可得a，c直角的关系，可求离心率
解答：解：由△ABF₂是等腰直角三角形可知|AF₂|=|AB|=|BF₂|，
设|AB|=|BF₂|=m，则|AF₂|=m
由椭圆定义可知，AF₁=2a-m，BF₁=（1+）m-2a，BF₂=4a-（+1）m
∴BF₂=4a-（+1）m=m
∴m=（4-2）a
∵B=90°
∴
∴+4=4c²
整理可得，
∴e==
故选A
点评：本题主要考查了椭圆的简单性质．椭圆的离心率是高考中选择填空题常考的题目．应熟练掌握圆锥曲线中a，b，c和e的关系．