Question

已知点M(-2，0)，N(2，0)，动点P满足条件|PM|-|PN|=，记动点P的轨迹为C．

（1）求C的方程；

（2）若A、B是曲线C上不同的两点，O是坐标原点，求的最小值．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）由题意知点P的轨迹是双曲线（a>0，b>0）的右半支，其中实半轴长a=，焦半距c=2，

∴ b²=c²-a²=2，

于是C的方程为(x>0)．           ……………………4分

（2）设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，则，．

若AB⊥x轴，此时x₁=x₂，y₁=-y₂，

∴ =x₁x₂+y₁y₂=．

∵ (x₁，y₁)在双曲线C上，

∴ =2，

即 =2．                           ……………………6分

若AB不垂直于x轴，设直线AB的方程为y=kx+b，

由得(1-k²)x²-2kbx-b²-2=0．

∵ A、B是双曲线右支上不同的两点，

∴ 1-k²≠0，且Δ>0，x₁x₂=>0，x₁+x₂=>0，

即 可解得0<k²-1<(b≠0)．

……………………8分

∵ y₁y₂=(kx₁+b)(kx₂+b)=k²x₁x₂+kb(x₁+x₂)+b²=，

∴ =x₁x₂+y₁y₂=+==2+．

又∵ k²-1>0，从而>2．

综上，当AB⊥x轴时，取得最小值2． …………………10分

【解析】略