Question

（2008•和平区三模）已知点H（-3，0），点P在y轴上，点Q在x轴正半轴上，点M在直线PQ上，且

HP

•

PM

=0，又

PM

=-

3

2

MQ

．
（1）当点P在y轴上移动时，求点M的轨迹C的方程；
（2）若直线l：y=k（x-1）（k＞2）与轨迹C交于A、B两点，AB中点N到直线3x+4y+m=0（m＞-3）的距离为

1

5

，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用向量的运算及数量积运算即可得出；
（2）把直线方程与抛物线方程联立得到根与系数的关系，再利用中点坐标公式、点到直线的距离公式、二次函数的单调性即可得出．

解答：解：（1）设M（x，y），P（0，a），Q（b，0）
由

PM

=-

3

2

MQ

得(x，y-a)=-

3

2

(b-x，-y)，
∴a=-

y

2

，b=

x

3

，即P(0，-

y

2

)，Q(

x

3

，0)，
由

HP

•

PM

=0⇒(3，-

y

2

)•(x，

3

2

y)=0
∴y²=4x（x＞0）．
（2）由

y=k(x-1)(k＞2) y2=4x

消去y得k²x²-2（k²+2）x+k²=0
由N是AB的中点∴N(

k2+2

k2

，

2

k

)，
又由已知

|3• k2+2 k2 +4• 2 k +m|

32+42

=

1

5

∴|

6

k2

+

8

k

+m+3|=1
∵k＞2，m＞-3∴

6

k2

+

8

k

+m+3=1．
令

1

k

=t，则0＜t＜

1

2

双m=-6t2-8t-2⇒-

15

2

＜m＜-2
综合m＞-3可得-3＜m＜-2．

点评：熟练掌握直线与抛物线相交问题转化为直线方程与抛物线方程联立得到根与系数的关系、中点坐标公式、点到直线的距离公式、二次函数的单调性、向量的运算及数量积运算等是解题的关键．