试题分析:
(1)分别令n=1,2,在根据
的定义即可求的
.
(2)利用
与
的关系(
),即可消去
得到关于
的递推式,整理可后利用叠乘法即可得到
的通项公式,注意验证首项.此外还可以先找规律得到通项公式,再利用数学归纳法进行证明.这也是可以的.
(3)由第二问得
是不可求和的数列,可以考虑放缩成为可求和的数列,跟据
为分式,以此可以考虑放缩成为可以裂项求和的数列
,裂项求和即可证明相应的不等式.
试题解析:
(1)当
时,有
,解得
.
当
时,有
,解得
. 2分
(2)(法一)当
时,有
, ①
. ②
①—②得:
,即:
. 5分
.
. 8分
另解:
.
又
当
时,有
,
. 9分[
(法二)根据
,
,猜想:
. 3分
用数学归纳法证明如下:
(Ⅰ)当
时,有
,猜想成立.
(Ⅱ)假设当
时,猜想也成立,即:
.
那么当
时,有
,
即:
,①
又
, ②
①-②得:
,
解,得
.
当
时,猜想也成立.
因此,由数学归纳法证得
成立. 8分
(3)
, 10分
. 14分