Question

9．若对任意x∈[-1，1]，x³-3ax+a≥0恒成立，则实数a的取值范围是$\left\{{\frac{1}{4}}\right\}$．

Answer 1

分析 求出函数的导数，利用导函数的符号判断函数的单调性，求出函数的最小值，然后求解a的范围．

解答 解：令f（x）=x³-3ax+a，x∈[-1，1]，
f′（x）=3x²-3a，
当a≤0时，f′（x）=3x²-3a≥0，f（x）在区间[-1，1]单调增，
f（x）_min=f（-1）=4a-1≥0，
解得$a≥\frac{1}{4}$与a≤0矛盾，故舍去；
当a＞0时，f′（x）=3x²-3a=0，解得$x=±\sqrt{a}$，
①当$\sqrt{a}＜1$时，f（x）在$[{-1，-\sqrt{a}}]$单调增，在$[{-\sqrt{a}，\sqrt{a}}]$单调减，在$[{\sqrt{a}，1}]$单调增，
f（x）在$x=\sqrt{a}$上取得极小值，
故不等式要成立只需满足，f（-1）=4a-1≥0且$f（{\sqrt{a}}）=a-2a\sqrt{a}≥0$，
解得$a=\frac{1}{4}$．
①当$\sqrt{a}＞1$，即a＞1时，f（x）在[-1，1]单调减，f（x）_min=f（1）=1-2a≥0，可得a$≤\frac{1}{2}$，舍去．
综上a=$\frac{1}{4}$．
故答案为：$\left\{\frac{1}{4}\right\}$．

点评 本题考查函数的恒成立，函数的导数的综合应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，考查分类讨论以及转化思想的应用．