Question

19．以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若椭圆C两焦点的极坐标分别是$（\sqrt{2}，0），（\sqrt{2}，π）$，长轴长是4．
（I）求椭圆C的参数方程；
（Ⅱ）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=cosα}\\{y=1+sinα}\end{array}\right.$（α为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C的极坐标方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出椭圆C两焦点的直角坐标，由此能求出椭圆直角坐标方程，从而能求出椭圆C的参数方程．
（Ⅱ）先求出曲线C的普通方程，由此能求出曲线C的极坐标方程．

解答 解：（Ⅰ）∵椭圆C两焦点的极坐标分别是$（\sqrt{2}，0），（\sqrt{2}，π）$，
∴椭圆C两焦点的直角坐标分别是（$\sqrt{2}$，0），（-$\sqrt{2}$，0），
∵长轴长是4，∴a=2，c=$\sqrt{2}$，b=$\sqrt{4-2}$=$\sqrt{2}$，
∴椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$．
∴椭圆C的参数方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=\sqrt{2}sinθ}\end{array}\right.$，0≤θ＜π．
（Ⅱ）∵曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=cosα}\\{y=1+sinα}\end{array}\right.$（α为参数），
∴曲线C的普通方程为x²+（y-1）²=1，即x²+y²-2y=0，
∴曲线C的极坐标方程为ρ²-2ρsinθ，即ρ=2sinθ．

点评 本题考查椭圆的参数方程和曲线的极坐标方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意极坐标方程、直角坐标方程、参数方程、普通方程互化公式的合理运用．