Question

4．已知函数f（x）=cosxsin（x+$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$cos²x+$\frac{\sqrt{3}}{4}$．
（1）求f（x）的单调增区间；
（2）求f（x）在区间[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性求得函数f（x）的减区间；再根据正弦函数的定义域和值域，求得f（x）在区间[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值和最小值．

解答 解：函数f（x）=cosxsin（x+$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$cos²x+$\frac{\sqrt{3}}{4}$=cosx（sinx•$\frac{1}{2}$+cosx•$\frac{\sqrt{3}}{2}$）-$\sqrt{3}$cos²x+$\frac{\sqrt{3}}{4}$
=$\frac{1}{2}$sinxcosx-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos²x+$\frac{\sqrt{3}}{4}$=$\frac{1}{4}$sin2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$•$\frac{1+cos2x}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{4}$=$\frac{1}{2}$sin（2x-$\frac{π}{3}$），
（1）令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，求得kπ+$\frac{5π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{11π}{12}$，
故函数f（x）的减区间为[kπ+$\frac{5π}{12}$，kπ+$\frac{11π}{12}$]，k∈Z．
（2）∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，∴2x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，∴当2x-$\frac{π}{3}$=-$\frac{π}{3}$时，f（x）=$\frac{1}{2}$sin（2x-$\frac{π}{3}$）取得最小值为-$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
当2x-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$ 时，f（x）=$\frac{1}{2}$sin（2x-$\frac{π}{3}$）取得最大值为 $\frac{1}{2}$．

点评 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的单调性，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．