Question

记数列{a_n}的前n项和为S_n，若{

Sn

an

}是公差为d的等差数列，则{a_n}为等差数列时d=______．

Answer 1

∵{

Sn

an

}是

S1

a1

=1为首项，d为公差的等差数列，
∴

Sn

an

=1+（n-1）d，
∴S_n=a_n+（n-1）da_n，①
S_n-1=a_n-1+（n-2）da_n-1．②
①-②得：
a_n=a_n+（n-1）da_n-a_n-1-（n-2）da_n-1，
整理可得
（n-1）da_n-（n-1）da_n-1=（1-d）a_n-1，
假设d=0，那么

Sn

an

=1，
S₁=a₁，S₂=a₁+a₂=a₂，
∴a₁=0，∵a₁为除数，不能为0，∴d≠0．
在此假设a_n的公差为d′，
所以有d′=

(1-d)an-1

(n-1)d

，
当d=1时，d′=0，a_n是以a₁为首项，0为公差的等差数列．
当d≠1时，a_n-1=（n-1）

d•d′

1-d

，
a_n-a_n-1=

d•d′

1-d

=d′，
∴d=

1

2

，
此时，a_n是以d′为首项，d′为公差的等差数列．
综上所述，d=1，或d=

1

2

．
故答案为：1或

1

2

．